Topologia in dimensione bassa

La topologia in dimensione bassa è una branca della topologia (e quindi della geometria) che studia gli "spazi di dimensione 1, 2, 3 e 4".

La topologia in dimensione bassa studia soprattutto le varietà, da molteplici punti di vista. A partire dagli anni sessanta, è emersa sempre più la peculiarità di queste dimensioni, il cui studio necessita di strumenti ad hoc, più specifici delle tecniche generali fornite dalla topologia algebrica e della topologia differenziale. Da cui la nascita negli anni 60/70 di un settore apposito, che studiasse tecniche adeguate, soprattutto alle dimensioni 3 e 4.

Un esempio lampante di questo fenomeno è la dimostrazione di Stephen Smale della Congettura di Poincaré: gli argomenti usati dal matematico statunitense funzionano per tutte le dimensioni superiori a 4, ma non per le altre. La stessa congettura è stata successivamente dimostrata con tecniche complesse e molto specifiche in dimensione 4 da Michael Freedman nel 1982 e in dimensione 3 da Grigori Perelman nel 2003 (i casi 1 e 2 sono molto facili, come notò Henri Poincaré già alla fine del XIX secolo).

I risultati sorprendenti ottenuti da William Thurston, Simon Donaldson, Michael Freedman, Vaughan Jones e Edward Witten nell'ambito delle varietà di dimensione 3 e 4, ottenuti tra la fine degli anni settanta, e tutti gli anni ottanta, hanno valso a tutti questi una medaglia Fields, e hanno portato il settore alla ribalta della geometria e di tutta la matematica. Grigori Perelman, anch'egli vincitore di una medaglia Fields, chiude infine nel 2003 la congettura di Poincaré, insoluta per più di un secolo.